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In der `F33f`_`[Mathematik`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Mathematik]`_`f stellt das `!Multinomialtheorem`! (auch `*Multinomialformel`* oder `*Multinomialsatz`*) oder `!Polynomialtheorem`! eine Verallgemeinerung des `F33f`_`[binomischen Lehrsatzes`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Binomischer_Lehrsatz]`_`f auf die Summe beliebig vieler Glieder dar, indem es die `F33f`_`[Binomialkoeffizienten`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Binomialkoeffizient]`_`f als `F33f`_`[Multinomialkoeffizienten`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Multinomialkoeffizient]`_`f verallgemeinert.

>>Contents

• `F0af`_`[Formel`#formel]`_`f

• `F0af`_`[Beispiel`#beispiel]`_`f

• `F0af`_`[Anwendung`#anwendung]`_`f

• `F0af`_`[Herleitung`#herleitung]`_`f

• `F0af`_`[Formelle Beweise`#formelle-beweise]`_`f

• `F0af`_`[Siehe auch`#siehe-auch]`_`f

• `F0af`_`[Literatur`#literatur]`_`f

• `F0af`_`[Weblinks`#weblinks]`_`f

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>>Formel

Das Multinomialtheorem besagt, dass

( x 1 + x 2 + … … + x n ) k = ∑ ∑ k 1 + … … + k n = k k 1 , … … , k n ≥ ≥ 0 ( k k 1 , … … , k n ) ⋅ ⋅ x 1 k 1 ⋅ ⋅ x 2 k 2 ⋯ ⋯ x n k n . {\\displaystyle (x_{1}+x_{2}+\\ldots +x_{n})^{k}\\,=\\sum _{k_{1}+\\ldots +k_{n}=k \\atop k_{1},\\ldots ,k_{n}\\geq 0}{k \\choose k_{1},\\ldots ,k_{n}}\\,\\cdot \\,x_{1}^{k_{1}}\\cdot x_{2}^{k_{2}}\\cdots x_{n}^{k_{n}}.}

Die Koeffizienten dieses Polynomausdrucks sind die `F33f`_`[Multinomialkoeffizienten`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Multinomialkoeffizient]`_`f

( k k 1 , … … , k n ) = k ! k 1 ! ⋅ ⋅ … … ⋅ ⋅ k n ! {\\displaystyle {k \\choose k_{1},\\,\\ldots ,\\,k_{n}}={\\frac {k!}{k_{1}!\\cdot \\,\\ldots \\,\\cdot k_{n}!}}} ,

die ihren Namen aufgrund ihres Auftretens im Multinomialtheorem erhalten haben.

Eine kürzere Formulierung erlaubt die `F33f`_`[Multiindexnotation`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Multiindex]`_`f mit Multiindex α α {\\displaystyle \\alpha } :

( x 1 + x 2 + ⋯ ⋯ + x n ) k = ∑ ∑ | α α | = k ( k α α ) ⋅ ⋅ x α α . {\\displaystyle (x_{1}+x_{2}+\\cdots +x_{n})^{k}=\\sum _{|\\alpha |=k}{{k} \\choose \\alpha }\\cdot x^{\\alpha }.}

Dabei identifiziert man x {\\displaystyle x} mit dem Vektor ( x 1 , … … , x n ) ∈ ∈ R n {\\displaystyle (x_{1},\\ldots ,x_{n})\\in \\mathbb {R} ^{n}} .

>>Beispiel

( x + y + z ) 3 = ( 3 3 , 0 , 0 ) x 3 + ( 3 2 , 1 , 0 ) x 2 y + ( 3 2 , 0 , 1 ) x 2 z + ( 3 1 , 2 , 0 ) x y 2 + ( 3 1 , 1 , 1 ) x y z + ( 3 1 , 0 , 2 ) x z 2 + ( 3 0 , 3 , 0 ) y 3 + ( 3 0 , 2 , 1 ) y 2 z + ( 3 0 , 1 , 2 ) y z 2 + ( 3 0 , 0 , 3 ) z 3 {\\displaystyle (x+y+z)^{3}={3 \\choose 3,0,0}\\,x^{3}+{3 \\choose 2,1,0}\\,x^{2}y+{3 \\choose 2,0,1}\\,x^{2}z+{3 \\choose 1,2,0}\\,xy^{2}+{3 \\choose 1,1,1}\\,xyz+{3 \\choose 1,0,2}\\,xz^{2}+{3 \\choose 0,3,0}\\,y^{3}+{3 \\choose 0,2,1}\\,y^{2}z+{3 \\choose 0,1,2}\\,yz^{2}+{3 \\choose 0,0,3}\\,z^{3}}

Nach Auswerten der Multinomialkoeffizienten erhält man

( x + y + z ) 3 = x 3 + 3 x 2 y + 3 x 2 z + 3 x y 2 + 6 x y z + 3 x z 2 + y 3 + 3 y 2 z + 3 y z 2 + z 3 {\\displaystyle (x+y+z)^{3}=x^{3}+3x^{2}y+3x^{2}z+3xy^{2}+6xyz+3xz^{2}+y^{3}+3y^{2}z+3yz^{2}+z^{3}} .

>>Anwendung

Als Korollar aus dem Multinomialtheorem gewinnt man beispielsweise für Multiindizes die Abschätzung

n k = ( 1 + ⋯ ⋯ + 1 ) k = ∑ ∑ | β β | = k | β β | ! β β ! ≥ ≥ | α α | ! α α ! {\\displaystyle n^{k}=(1+\\cdots +1)^{k}=\\sum _{|\\beta |=k}{\\frac {|\\beta |!}{\\beta !}}\\geq {\\frac {|\\alpha |!}{\\alpha !}}} für alle α α {\\displaystyle \\alpha } mit | α α | = k {\\displaystyle |\\alpha |=k} ,

also

| α α | ! ≤ ≤ n | α α | ⋅ ⋅ α α ! {\\displaystyle |\\alpha |!\\leq n^{|\\alpha |}\\cdot \\alpha !} .

>>Herleitung

Das Multinomialtheorem lässt sich durch folgende Überlegung herleiten: Schreibt man das Produkt ( x 1 + … … + x n ) k {\\displaystyle (x_{1}+\\ldots +x_{n})^{k}} aus, so liest es sich als

( x 1 + … … + x n ) ⋅ ⋅ ( x 1 + … … + x n ) ⋯ ⋯ ( x 1 + … … + x n ) {\\displaystyle (x_{1}+\\ldots +x_{n})\\cdot (x_{1}+\\ldots +x_{n})\\cdots (x_{1}+\\ldots +x_{n})} .

Beim Ausmultiplizieren der k {\\displaystyle k} gleichen Klammerausdrücke fließt in jedes Produkt aus jeder Summe ( x 1 + … … + x n ) {\\displaystyle (x_{1}+\\ldots +x_{n})} genau ein Glied ein. Somit entstehen Produkte der Form x 1 k 1 ⋅ ⋅ x 2 k 2 ⋯ ⋯ x n k n {\\displaystyle x_{1}^{k_{1}}\\cdot x_{2}^{k_{2}}\\cdots x_{n}^{k_{n}}} mit k 1 + k 2 + … … k n = k {\\displaystyle k_{1}+k_{2}+\\ldots k_{n}=k} . Diese Produkte werden additiv verknüpft, und es bleibt nur noch zu klären, welche Produkte wie oft entstehen. Ein Produkt x 1 k 1 ⋅ ⋅ x 2 k 2 ⋯ ⋯ x n k n {\\displaystyle x_{1}^{k_{1}}\\cdot x_{2}^{k_{2}}\\cdots x_{n}^{k_{n}}} entsteht dadurch, dass aus n {\\displaystyle n} Klammerausdrücken k 1 {\\displaystyle k_{1}} -mal die Zahl x 1 {\\displaystyle x_{1}} ausgewählt wurde, k 2 {\\displaystyle k_{2}} -mal die Zahl x 2 {\\displaystyle x_{2}} ausgewählt wurde usw. Für diese Auswahl gibt es aber gerade ( k k 1 , … … , k n ) {\\displaystyle {\\tbinom {k}{k_{1},\\ldots ,k_{n}}}} Möglichkeiten.

>>Formelle Beweise

Das Multinomialtheorem lässt sich beispielsweise mit Hilfe einer `F33f`_`[mehrdimensionalen Taylorentwicklung`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Taylorentwicklung]`_`f erster Ordnung oder durch `F33f`_`[vollständige Induktion`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Vollständige_Induktion]`_`f über n {\\displaystyle n} unter Zuhilfenahme des `F33f`_`[binomischen Lehrsatzes`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Binomischer_Lehrsatz]`_`f beweisen.

>>Siehe auch

• `F33f`_`[Multinomialverteilung`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Multinomialverteilung]`_`f

>>Literatur

• S.A. Rukova: Multinomial coefficient. In: `F33f`_`[Michiel Hazewinkel`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Michiel_Hazewinkel]`_`f (Hrsg.): `F33f`_`[Encyclopedia of Mathematics`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Encyclopedia_of_Mathematics]`_`f. Springer-Verlag und `F33f`_`[EMS`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=European_Mathematical_Society]`_`f Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org).

• Jaroslav Nesetril, Jiri Matousek: `*Diskrete Mathematik: Eine Entdeckungsreise`*. Springer 2007, ISBN 978-3-540-30150-9, S. 79 (Auszug in der Google-Buchsuche)

• Dominique Foata, Aimé Fuchs: `*Wahrscheinlichkeitsrechnung`*. Birkhäuser 1999, ISBN 3-7643-6169-7, S. 41–42 (Auszug in der Google-Buchsuche)

>>Weblinks

• `F33f`_`[Norbert Henze`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Norbert_Henze]`_`f: `*Multinomialkoeffizient und multinomialer Lehrsatz`* In: KIT-Bibliothek Medienportal

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